《数术记遗》是最早记述“珠算”的中国数学典籍，因此备受珠算史和数学史研究者的重视。该书是唐代明算科的指定算学教科书，在中国数学教育史上占有重要位置。传本《数术记遗》一卷，卷首题“汉徐岳撰，北周汉中郡守、前司隶，甄鸾注”。《数术记遗》现存最早的版本是南宋嘉定五年（1212年）的木刻本，为现存最早的刊本数学著作之一，因此是中国历史上的重要数学典籍与珠算文献。

一、《数术记遗》作者和注释者

徐岳，字公河，生卒不详，东汉末东莱（今山东省莱州、龙口一带）人。据《隋书•经籍志》载，他曾撰《九章算术注》二卷。徐岳受学于汉灵帝时（168年—188年）会稽东都尉刘洪，师从刘洪学习《乾象历》。又据《晋书•律历志》记载，魏黄初中（220年—226年）徐岳与太史丞韩诩论难日月食五事。东吴重臣、历算家阚泽（？—243年）是徐岳的学生。《晋书•律历志》载“吴中书令阚泽受刘洪《乾象历》于东莱徐岳”。《旧唐书·艺文志》载“《数术记遗》一卷，徐岳撰，甄鸾注”。徐岳称《数术记遗》的内容传自刘洪，而刘洪受学于天目山的“隐者”。公元190年前后任会稽太守的王朗（？—228年）在其《塞势》中称“余所游处，惟东莱徐先生素习《九章》，能为计数”。由此推测，《数术记遗》的成书时间约在公元2世纪90年代。

（《数术记遗》）

甄鸾，字叔遵，中山无极（今河北省无极县）人。南北朝时任北周司隶校尉、汉中郡守。甄鸾信奉佛教，曾撰《笑道论》三卷。武帝时（561年—565年），造《天和历》，于天和元年（566年）年颁行。甄鸾著有《五曹算经》《五经算术》《七曜术算》《七曜本起历》等多种历算书，并注释了《周髀算经》《九章算术》《数术记遗》和《三等数》等数学典籍。

关于《数术记遗》的作者，《旧唐书·艺文志》载“徐岳撰，甄鸾注”，与传本卷首题“汉徐岳撰”及北周甄鸾注一致。自唐代以来没有人对此提出过疑问。直至清代，《四库全书总目提要》首先怀疑《数术记遗》并非徐岳所撰，认为是后人伪托。此后，关于《数术记遗》的作者，学界存在意见分歧。

清代学者戴震以《数术记遗》书中自称“于太山见刘会稽”，又考得刘洪“官会稽后未尝家居，不得言于太山见之。且洪在会稽乃官都尉，其为太守实在丹阳，而以为官会稽，错误殊甚”，否定徐岳为《数术记遗》的作者。还有学者认为《数术记遗》中有“未识刹那之赊促，安知麻姑之桑田”等佛典语句，而麻姑的故事出自晋代葛洪的《神仙传》，不可能为徐岳所知。数学史家钱宝琮认为该书为“北周甄鸾依托伪造的书”。

但包括笔者在内许多学者提出了不同意见，认为断定《数术记遗》是伪书的理由不充分。首先，《数术记遗》中出现“大千”“刹那”等几个佛经词汇与史实并不相悖。佛教在西汉已经传入中国。从汉明帝到汉献帝154年间，翻译佛经292部，东汉翻译的《四十二章经》中就有“大千世界如一沙子”之语。“刹那”当时译为“须臾”，以后所附注疏中就有“刹那”的译名。刘洪活动的地区佛教活跃，刘洪也有《七曜术》等著作，他与佛教方面有交往，是无可怀疑的。因此，上述佛教用语出现在东汉末年刘洪的学生徐岳的书中，当不在意外。

其次，甄鸾《数术记遗注》称：“《历志》称：灵帝光和中，谷城中门侯太山刘洪造《乾象历》。又制月行迟疾阴阳历，自洪始也。方于《太初》《四分》，转精密矣。洪后为会稽太守。”自三国到刘宋，不同的作者所撰各种《后汉书》《续汉书》甚多。目前除刘宋范晔《后汉书》及梁刘昭为之作注时补入的晋司马彪《续汉书·律历志》等八志外，其他基本散佚。而这些《后汉书》《续汉书》，甄鸾、刘昭都是能够见得到的。甄鸾关于刘洪生平的记载除会稽太守外，其他事迹都与别的史籍的记载相符合，因此，甄鸾说刘洪为会稽太守，必有所本。刘洪，甄鸾似无必要伪造其会稽太守之事。

第三，《数术记遗》的内容与徐岳所处时代也相吻合，其语言风格也与汉末魏初的文风颇为一致。如明人毕拱辰在其所著《徐岳考》中指出：“《数术记遗》得之杂编中，中皆握算成法，备记与刘会稽问答微旨，即未满百言，而削质奥，思维淹通，依然东京风骨。甄司隶代为解义代为，旁引曲证，致足瞻译，不愧徐君功臣矣。”（见光绪十九年本《掖县全志》卷之八“艺文考”。）

二、《数术记遗》的主要内容及其珠算史料价值

徐岳所撰《数术记遗》仅600余字，非常简括。开头便说作者在泰山问数于刘洪，刘洪向徐岳转述了他在天目山向天目先生学到的数学知识。其内容主要有三项：

一是阐发了数量的有限与无限的关系。他从空间上的“川人迷其指归”与司方辨别东西南北的关系，时间上的“刹那之赊促”与“麻姑之桑田”的关系，引申到数量上的“积微之为量”，以及“百亿”与“大千”的辩证关系。天目先生在回答刘洪“上数者数穷则变。既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷”的问题时说：“数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，岂有穷乎？”即采用进位法和大数记法，通过数的循环之理，可以达到无穷。

二是讲述了具体的大数进制与记数法。《数术记遗》称“数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆，京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。”其中，三等是指三种进位制，“下数”为十进制，即“十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也”；“中数”为万万进制，即“万万变之，若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京”；而“上数”为重进制（自乘），即“数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”；徐岳认为，表示大数用中数法最便。

三是介绍了十四种算法。其中第一种“积算”为“今之常算也，以竹为之”，即古代常用的筹算方法。除了筹算外，其余十三种算法为人们改革计算工具的尝试的总结，然而记载十分简括，没有甄鸾注很难理解其细节内容。《数术记遗》中记载的“珠算”，根据甄鸾的注释，它分三栏，上、下栏布置游珠，中栏布置结果。《数术记遗》载：“珠算，控带四时，经纬三才”。甄鸾注曰：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五。其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。”上面一颗珠与下面四颗珠用颜色来区别。上栏一珠当5，下栏四珠，一珠当1。显然，这是由算筹数字表示法演变而来的，在表数方式上与现今珠算一致，由于没有形成一套口诀，可能还不及筹算运算便捷。

《数术记遗》的“珠算”算具，虽不是后来通行的珠算盘，但如果将其以改进，改三栏为二栏，将游珠穿档，便可成为通行的算盘。可以说，后来的有梁穿档珠算算盘是在这种早期“珠算”的基础上发展起来的。

隋唐时期，中国建立了国家数学教育制度。当时数学专科被称为“明算科”。在唐代的明算科教学中，《数术记遗》与《九章算术》等数学著作都是指定的教科书。《数术记遗》和《三等数》当时是明算科考试时“帖读”的指定书，即用纸条掩盖书上的三、四个字，让应试者默读出全句，要求达到百分之九十的准确率。因此，它是明算科学生须熟读的数学书。《数术记遗》在唐代还东传到朝鲜半岛和日本，成为其官方教育的教科书或参考书。

由于《数术记遗》流传持久和广泛，历史上学习和阅读过该书的人很多，因此对后来穿档珠算算盘的发明起到了启发和促进作用。

三、《数术记遗》的主要版本

《数术记遗》被北宋《崇文总目》收录，在北宋时还广为传播和利用，但到南宋初，一度失传。南宋大理评事鲍澣之在杭州七宝山（今紫阳山的一部分）三茅宁寿观所藏道书中发现了《数术记遗》，即录之，并于嘉定五年（1212年）翻刻此书。鲍澣之刻印之南宋本《数术记遗》，现存孤本，今藏北京大学图书馆。文物出版社1980年影印收入《宋刻算经六种》。《中国珠算典籍汇编》也选用了南宋嘉定五年刻本。

（南宋刻本《数术记遗》书影）

明数学衰微，《九章筭术》等算经几乎失传，但有《数术记遗》与《周髀筭经》等几个刻本刊行，由胡震亨刊刻的《秘册汇函》丛书本和毛晋刻的《津逮秘书》丛书本。笔者所见现存两套书中的《数术记遗》都由毛晋校订、汲古阁刻板。

（《秘册汇函》丛书本《数术记遗》）

（《津逮秘书》丛书本《数术记遗》）

清乾隆三十八年（1773年）修《四库全书》，戴震以明刻本《数术记遗》为底本，略加校订，收入子部天文算法类。孔继涵在1777年或其后刊刻戴震校订的微波榭本《算经十书》，以《数术记遗》作为附录，其底本仍是明刻本，未见以汲古阁本参校的痕迹。此后，清代的《学津讨原》《槐庐丛书》《古今算学丛书》等刊本，以及民国的《万有文库》，都是明刻本或微波榭本的翻刻本或排印本。

（《数术记遗》光绪刻本）

作者单位：清华大学科技史暨古文献研究所

内蒙古师范大学科学技术史研究院